Исторические задачи, в которых обнаруживается арифметическая прогрессия
Задача 1. Задача из «Арифметики» Л.Ф. Магницкого
Купец имел 14 чарок серебряных, причем
веса чарок растут по арифметической прогрессии с разностью 4. Последняя чарка
весит 59 латов. Определить, сколько весят все чарки.
Решение
Ответ: все чарки весят 462 лата.
В «Сборнике
алгебраических задач» (часть вторая, авторы Шапочников Н.А., Вальцов Н.К.; Москва,
Ленинград, Учпедгиз, 1949) было найдено двадцать задач на арифметическую
прогрессию.
Задача
2.
Работники нанялись вырыть колодезь с таким условием, чтобы за первый аршин
глубины им заплатили 40 копеек, а за каждый следующий 15-ю копейками больше, чем за
предыдущий. Сколько аршин вырыли они, если за всю работу получили 16 р. 90 к.?
Решение:
Работники
выкопали колодец глубиной 13 аршин.
Задача
3.
Некто, будучи должен 720 руб., обязался уплачивать этот долг по частям, выдавая
каждый месяц 10-ю рублями меньше, чем в предыдущий. Сколько он уплатил в первый
месяц и во сколько времени погасил весь свой долг, если в последний месяц ему
пришлось отдать 40 р.?
Решение: Применим формулы n–го члена и суммы n первых членов арифметической прогрессии получим систему уравнений:
Задача
4.
Древнейшая задача о делении хлеба. Сто мер хлеба разделить между пятью людьми
так, чтобы второй получил на столько же больше первого, на сколько третий
получил больше второго, четвёртый больше третьего и пятый больше четвертого.
Кроме того, двое первых должны получить в 7 раз меньше трёх остальных. Сколько
нужно дать каждому?
Решение:
Пусть у - разность арифметической
прогрессии, тогда доля первого – х; доля второго – (х + у); доля третьего – (х + 2у); доля четвертого – (х
+ 3у); доля пятого – (х + 4у). Затем составим систему уравнений:
Следовательно, хлеб должен быть разделен на следующие части:
Задача 5. За 16 дней Карл украл у Клары 472 коралла. Каждый день он крал на 3 коралла больше, чем в предыдущий день. Сколько кораллов украл Карл в последний день?
Решение:
Ответ: 52 коралла украл Карл в последний день.
Задача
6: Лестница
имеет 100 ступеней. На первой ступени сидит 1 голубь, на второй – два, на
третий – три. Так на всех ступенях до сотой. Сколько всего голубей?
Решение: