Геометрическая прогрессия в русских задачах

 Геометрическая прогрессия в русских задачах

Примеры различных задач на применение свойств геометрической прогрессии из русских исторических сборников

 

«Арифметика» Леонтия Магницкого (1703)

1.  Задача: 

В старинной арифметике Магницкого есть забавная задача, которую приведена здесь, не сохраняя языка подлинника:  

Некто продал лошадь за 156 руб. Но покупатель, приобретя лошадь, раздумал ее покупать и возвратил продавцу, говоря: 

- Нет мне расчета покупать за эту цену лошадь, которая таких денег не стоит. 

Тогда продавец предложил другие условия: 

- Если, по-твоему цена лошади высока, то купи только ее подковные гвозди, лошадь же получишь тогда в придачу бесплатно. Гвоздей в каждой подкове 6, и будешь ты мне за них платить таким образом: за первый гвоздь — полушку, за второй — две полушки, за третий — четыре полушки, и так далее…». Купец согласился, рассчитывая заплатить не более 10 рублей. Проторговался ли купец?

 Решение:

Примечание:

Полу́шка — это старинная монета, достоинством в 1/4 копейки.

 Всего подков 4, значит гвоздей 4×6=24.

За все гвозди купец должен заплатить

 1/4 +1/2 + 1 +2 + 2² + 2³ + ...+ 2^24-3

 Получили геометрическую прогрессию, где b₁ = ¼; q = 2. Найдем S₂₄

S₂₄ = (b₂₄* q – b₁)/(q – 1)

 S₂₄ = (2²¹ *2 – ¼)/ (2-1) = 2²² – ¼ = 4194304 – ¼ = 4194303 и ¾ - в копейках.

Ответ в рублях: 41943 рубля и ¾ - копейки. Купец проторговался.

  2. Задача: 

Садовник продал первому покупателю половину всех своих яблок и еще пол-яблока, второму покупателю - половину оставшихся и еще пол-яблока: третьему - половину оставшихся и еще пол-яблока и т. д. Седьмому покупателю он продал половину оставшихся яблок и еще пол-яблока; после этого яблок у него не осталось. Сколько яблок было у садовника?

Решение:

Если первоначальное число яблок х, то первый покупатель получил

x/2 + 1/2 = (x + 1)/2,

второй

1/2(x - (x + 1)/2) + 1/2 = (x + 1)/2²,

третий

1/2(x - (x + 1)/2 - (x + 1)/4) + 1/2 = (x + 1)/2³,

седьмой покупатель

(х + 1)/2⁷.

Имеем уравнение

(х + 1)/2 + (х + 1)/2² + (х + 1)/2³ + ... + (х + 1)/2⁷ = x

или

(x + 1)(1/2 + 1/2² + 1/2³ + ... + 1/2⁷) = x.

Вычисляя стоящую в скобках сумму членов геометрической прогрессии, найдем:

х/(x + 1) = 1 - 1/2⁷

х = 2⁷ - 1 = 127.

Всех яблок было 127.

 

3. Задача: 

По сообщению одной газеты 1914 г., у судьи в г. Новочеркасске разбиралось дело о продаже стада в 20 овец по условию – уплатить за первую овцу 1 копейку, за вторую – 2 копейки, за третью – 4 копейки и так далее. Очевидно, покупатель соблазнился надеждою дешево купить стадо – и просчитался. Подсчитайте, какую сумму он должен был уплатить.

Решение:

1 +2 + 2² + 2³ + ...+ 2^20-1

В задаче описана геометрическая прогрессия, в которой:

b₁=1, b₂=2, b₃=4; q=2, 

Найдите S₂₀.

S₂₀ = (b₂₀* q – b₁)/(q – 1) = (2¹⁹ * 2 – 1)/ (2-1)   = 2²⁰ – 1 = 1048575

Оказывается, Магницкий не без основания снабдил решение этой задачи предупреждением:

«Хотяй туне притяжати,

От кого что принимати,

Да зрит то себе опасно…».

 

 4. Задача: 

 Эта задача из старинного русского учебника математики, название которого: «Полный курс чистой математики, сочиненный Артиллерии Шкык-Юнкером и Математики партикулярным Учителем Ефимом Войтяховским в пользу и употребление юношества и упражняющихся в Математике» (1795).

Служившему воину дано вознаграждение: за первую рану 1 копейку, за другую - 2 копейки, за третью - 4 копейки и т. д. По исчислению воин получил вознаграждение в сумме 655 рублей 35 копеек. Спрашивается число его ран.

Решение:

 В задаче описана геометрическая прогрессия, в которой:

b₁=1, b₂=2, b₃=4

S_n = 65535 (копеек) ; q=2, 

Найти n

S_n=b_{1 *} (1- qⁿ)/(1- q)

65535 = 2ⁿ – 1

2ⁿ = 65536

n=16

Ответ: 16.

 5. Задача: 

Задача из Книги "Сборник старинных задач по элементарной математике."

Сборник старинных задач по элементарной математике с историческими экскурсами и подробными решениями. Автор: Чистяков Василий. Год издания: 1962.

 

Шли семь старцев.

У каждого старца по семи костылей.

На всяком костыле по семи сучков.

На каждом сучке по семи кошелей.

В каждом кошелей по семи пирогов.

В каждом пироге по семи воробьев.

Сколько всего?

  

Решение:

7 старцев + 7² костылей + 7³ сучков + 7⁴ кошелей + 7⁵ пирогов + 7⁶ воробьев = 137256.

Получили геометрическую прогрессию, где b₁ =7; q = 7. Найдем S₆

S₆ = (b₇* q – b₁)/(q – 1) = (7⁶ * 7 – 7)/(7-1) = (823543 – 7)/6 = 137256

Ответ: 137256

  6. Задача: 

Это задача из «Сборника старинных занимательных задач по математике» Игнатьева Е.И.

 

Однажды богач заключил выгодную, как ему казалось, сделку с человеком, который целый месяц ежедневно должен был приносить по 100 тыс. руб., а взамен в первый день месяца богач должен был отдать 1 коп., во второй-2 коп., в третий-4 коп., в четвертый-8 коп. и т. д. в течении 30 дней. Сколько денег получил богач и сколько отдал? Кто выиграл от этой сделки?

Решение:

Считают “мужик” и “купец”

“Мужик” заплатил: S₃₀ = 100 000• 30 = 3 000 000 (рублей).

“Купец” заплатил: 1; 2; 4;…       q=2

S₃₀ =1• (2³⁰ – 1):(2-1)= 2 ³⁰ -1= =1 073 741 824-1 =1 073 741 823 (коп.) т.е. 10 738 418 руб.23коп

Ответ: 10 738 418 руб.23коп

 7. Задача: 

В древнерусском юридическом сборнике «Русская правда» (X-XI вв.) содержаться выкладке о приплоде от скота и пчёл за известный промежуток времени. О количестве зерна, собранного с определённого участка земли и т.д. в некоторых из них вычисляется сумма геометрической прогрессии со знаменателем 2. Эти задачи, по видимому, не имели хозяйственного или юридического значения, а как и в других странах являлись результатом развития интереса любителей математики к математическому содержанию подобных задач, однако впервые задачи на прогрессии возникли из наблюдений за явлениями природы из исследования общественно-экономических явлений, к которым применим закон арифметической или геометрической прогрессии.

Наша задача

Достопримечательность города Гусь-Хрустальный

Музей хрусталя располагается в здании Георгиевского собора, который сам по себе — яркая достопримечательность. Он построен в псевдорусском стиле по проекту архитектора Л.Бенуа. Собор строился на протяжении 11 лет. Правда, сам Бенуа лишь время от времени приезжал в Гусь. Непосредственное руководство строительствам вёл архитектор Георгий Яковлевич Леви. Воздвигали храм местные владимирские мастера, работу которых Бенуа сравнивал с мастерством лучших европейских каменотёсов. Здание было спроектировано так, что в нём одновременно соединились традиции и западноеврoпейской, и русской архитектуры.

Виктор Васнецов написал для украшения собора уникальные полотна. После реконструкции удалось восстановить только два из пяти — полотно «Страшный суд» площадью 50 кв.м и мозаику «О тебе радуется, Благодатная». Мозаика исполнена из небольших кусочков стекла.

 

После революции собор был закрыт и до 1970-х годов в нем располагались кинотеатр, библиотека с читальней, музыкальная школа, швейная мастерская.

В 1974 году Георгиевский собор был передан Владимиро-Суздальскому музею-заповеднику и в 1983 году, после реставрации, открылся уже, как музей.

Решив задачу, вы узнаете в каком году началось строительство Собора. А каком году оно завершилось?

Найдите 3-ий член геометрической прогрессии, если известно, что b₁ = 473, а q = 2.

Решение:

b_n  = b₁* q^n-1; т.к. n = 3, то получим b₃  = 473* 2^3-1 = 473 * 2²  = 1892.

Так в каком же году завершилось строительство Георгиевского Собора?

 Приезжайте к нам в город! Экскурсия в Музей хрусталя никого не оставляет равнодушным! Уникальные изделия уникальных мастеров - потрясающи!